Approximations  – Développements limités

 

Fonction négligeable devant une autre ou équivalente à une autre

 

h(x) négligeable devant f(x) quand x →a si  = 0 .  Noté h   f  (a peut être ± )

 

Le signe n’intervient pas, seul l’ordre de grandeur,  et + peut être négligeable devant –.

Relation transitive : h << g et g << f         h << f

 

h(x) équivalente à f(x) quand x a si   = 1 . Noté h   f  (a peut être ± )

 

ou  bien encore :  h   f   si     f(x) = h(x) (1 + ε (x))     et    ε (x) = 0

 

  Relation d’équivalence : Réflexive, symétrique,  transitive

 

 Compatible avec <<    car     h << f et  f » F              h << F

 

Seuls équivalents admis :

 

Si   f » F et g » G          alors           fg » FG          et          f/g   » F/G  

Si f << g    alors   f + g   »   g  

d’où on tire   si f << g et F << G       alors         

si f » F    alors   f a »  F a  (tout R)

 

Les autres équivalents sont à démontrer et à manier avec précaution

 

Notation de Landau

 

o (f) : se lit fonction négligeable devant f

Si j’écris pour x prés de 0 : sin x = x + o(x2) cela signifie sin x  – x << x2

Mais attention : plusieurs fonctions différentes négligeables devant f s’écrivent toutes o(f) .

On peut donc avoir par exemple o(f) + o(f) = o(f)

Aussi pour les calculs, on peut remplacer o(f) par ε(x).f(x) (avec lim ε = 0) et changer de ε à chaque approximation.

 

Développements limités

 

Echelle : Base de référence pour le classement de fonctions usuelles dans la relation <<

 

Echelle des fonctions négligeables l’une par rapport à l’autre à l’infini  (à connaître)  

 

   <<   1   <<   ln x    <<    x   <<    x2     << …….<<   xn (n > 2)    <<     ex     <<   ax  (a > e)

 

Echelle des fonctions négligeables l’une par rapport à l’autre prés de 0  (à connaître)

 

xn    <<   …..   <<    x2      <<  x      <<   1    <<    ln x    <<    

On peut construire des échelles plus riches et intercaler par exemple les fonctions x (ln x)β

 

 

 

 

 

Partie principale de f

 

Soit C une constante

Définition : On dit que Cf0 est la partie principale de f si f0 fait partie de l’échelle et f » Cf0 .

                    On peut écrire que f = Cf0 + o(f0) .

                     On peut provisoirement la noter PP(f) = Cf0  (notation personnelle)

Par exemple pour un polynôme de degré n , à l’infini,  anxn est sa partie principale C = an .

À l’infini, sin x n’a pas de partie principale mais sin x admet x pour partie principale en 0 .

le C de Cf0 est unique

PP(f.g) = PP(f) . PP(g) 

PP(f/g) = PP(f) / PP(g)

Si PP(f) + PP(g) ≠ 0 alors

               PP(f+g) = Sup (PP(f) , PP(g)) dans l’échelle ou PP(f)+PP(g) si elles sont du même ordre

 

Développement asymptotique de f

Dans ce qui suit les fonctions f i sont dans une échelle avec fn << fn–1 << ……<< f0

 

1 On a C0f0 = PP (f)

2 Puis on trouve C1f1 = PP (f - C0f0 )    approximation de l’erreur

3 Puis on trouve C2f2 = PP (f - C0f0 - C1f1)

4 et ainsi de suite jusqu’à Cnfn = PP (f – C0f0 – C1f1 – …..– Cn–1fn–1 )

5 On en déduit que f =  C0f0  + C1f1 +…..+ Cn–1fn–1 + Cnfn + o(fn)

Développement asymptotique de f d’ordre n dans l’échelle choisie

 

si l’échelle est celle des xn et que nous nous situions au voisinage du 0 nous avons un développement limité de f à l’ordre n en 0 . Que nous abrègerons en DLn(f).

f(x) = a0 + a1x + …..+anxn + o(xn) = P(x) + o(xn) où P(x) est un polynôme de degré n .

Ce polynôme est unique du fait de l’unicité des ai définissant chaque PP.

On dit soit que P(x) est un DLn (f) soit que f(x) = P(x) + o(xn) si on veut être plus précis.

 

toutes les fonctions n’ont pas un DLn en 0 et il arrive, selon l’ordre du développement qu’il faille prendre x très petit pour que  o(xn) devienne vraiment négligeable devant xn , le voisinage de 0 étant une notion arbitraire.

 

Développements limités fondamentaux (en 0 )

 

À connaître par cœur car souvent utiles

.      Le DLn de  est donc = 1 –x +x2–x3+..+(–1)nxn

 

 

 

        

 

 

                

 

 

 

 

Opérations sur les fonctions et DL

 

Les DLn sont en général compatibles avec les opérations courantes sur les fractions

DL (f+g) = DL (f ) + DL (g)

DL (f.g) = DL(f ) . DL (g) à condition de supprimer les termes de degré > n

DL (f/g) = DL (f) / DL (g)  (si on sait diviser le polynômes et que le dénominateur n’est pas nul)

On peut faire un changement de variable de type X = Kx (si x 0 c’est aussi le cas de X)

DL ( g ○ f) = DL (g (f(x)) n’est possible que si f(0) = 0 . Dans DL(g) on remplace x par DL(f) .

 

Formules de Taylor

 

Si

f continûment dérivable jusqu’à l’ordre n sur [a ; b] (donc de classe Cn) et f(n) est dérivable sur [a ;b]

 

Si h est tel que a < a+h ≤ b ,  Il existe θ  (0 < θ < 1 donc a< (a+ θh) < (a + h) tel que

f(a+h) = f(a)  +  hf(1)(a) +  f(2)(a)+…+ f(n)(a)   +   f(n+1)(a+θh)    Taylor Lagrange

 

En particulier si on remplace h par (b – a) on trouve f(b) = …

 

f(h) = f(0)  +  hf(1)(0) +  f(2)(0)+…+ f(n)(0)      +  f(n+1)(θh)     Mac Laurin 

 

C’est la même formule avec a = 0 et dans ce cas on peut remplace h par x pour trouver

 

f(x) = f(0)  +  xf(1)(0) +  f(2)(0)+…+ f(n)(0)      +  f(n+1)(θx)

 

Si on se situe maintenant au voisinage de 0 et que f(n+1) soit bornée , le dernier terme de la somme devient tel que f(n+1)(θx) << xn et on peut écrire le DLn :

 

f(x) = f(0)  +  xf(1)(0) +  f(2)(0)+…+ f(n)(0)      + 0(xn)

 

C’est de là que proviennent les DLn.

 

Quelques utilisations de DL

 

Pour se livrer aux opérations suivantes, il faut absolument que f soit de la classe Cn

Si f est bijective, on sait que f–1 est de classe Cn

On pose DL (f1 ) = anxn +….+a0 .(a i inconnus)

Puis on écrit que DL(f ○ f–1) = x en remplaçant dans le DL(f) x par anxn +….+a0 .

Ensuite, on identifie dans DL(f ○ f–1)  les coefficients à 0 sauf celui de x qui est égal à 1.

On trouve ainsi un DL de f1 .

On peut dériver le DL de f pour trouver celui de f’ (par exemple sinx et cos x)

On peut prendre la primitive du DL de f pour trouver le DL de cette primitive F

 

Suites et développements de fonctions de C¥ dont le reste tend vers 0

On retrouve dans la suite Un =1 + 1 + 1/2 + 1/3 + …+1/n le développement limité de ex pour x=1 mais 1 n’est pas au voisinage de 0 . On se tourne alors vers Mac Laurin et on estime le reste :

eθ / n   avec 0 < eθ < 1. Ce qui nous permet de dire que le reste 0 et que la suite converge vers e.

 

Calcul de limites en zéro :

On a souvent intérêt à substituer les DL aux  fonctions usuelles. (quand ils ont connus).

 

 

DL au voisinage d’un point

 

Si on prend une échelle prés de 0

xn    <<   …..   <<    x2      <<  x    

On peut la transformer en échelle « prés de a » en remplaçant x par (x-a)

(x-a)n    <<   …..   <<    (x-a)2      <<  (x-a)

Taylor (ou Mac Laurin) donnent alors dans le voisinage  de a

f(x) = f(a)  +  (x-a)f(1)(a) +  f(2)(a)+…+ f(n)(a)   +   f(n+1)(a+θ(x-a))

 

Et si f (n+1) est bornée, on a un développement limité au voisinage de a .

 

Position du graphe de f par rapport à sa tangente en a

 

L’équation de la tangente à f en a est T(x) = T(a) + (x-a) f(1)(a) et comme T(a) = f(a), on reconnaît les premiers termes de la formule de Taylor T(x) = f(a) + (x-a) f(1)(a).

On en déduit que  f(x) –T(x) = f(2)(a)+…+ f(n)(a)+… et au voisinage de a l’étude du signe

 

de f(x) –T(x) se résout à l’étude du signe du  1er terme non nul de cette suite.

 

Si f(2) (a) n’est pas nul, (x-a)2 étant positif  f(x)-T(x) est du signe de f(2) (a) que x soit plus grand ou plus petit que a. Donc, localement, la courbe est soit toute au dessus (f(x)-T(x)>0) , soit toute au dessous (f(x)-T(x) <0)  de la tangente.

Si f(2) (a) est nul, le signe de f(x) – T(x) est donné par le signe du 1er  f(n)(a) non nul.

 

Si ce terme est de degré impair, la courbe traverse la tangente puisque le signe de f(x) – T(x) change à droite et à gauche de a (on a un point d’inflexion) . Si il est de degré pair, la courbe reste du même côté de la tangente.

 

D’un DL à un autre

Au voisinage de 0

on sait que  = 1 –x +x2–x3+..+(–1)nxn

 

On peut  écrire f(x)=  et diviser le DL de  par .

 

Pour trouver  que f(x) = x –1/2 –x1/2 +x3/2 + o(x3/2)

 

Les puissances fractionnaires de x qui figurent dans cette somme constituant un échelle décroissante au voisinage du 0 .

 

Quand x tend vers l’infini

Quel est le comportement à l’infini de f(x)=  ?

Si dans  quand x 0 je fais le changement de variable x =  quand X  

 

J’obtiens = 1 –  + +… d’où  =  + +…

 

Donc f(x)=  = (X  -1 ++..) +  ( + –…) = X  -1 + +…

 

Et on retrouve l’asymptote oblique de f , la droite d’équation y = X – 1 , le reste étant négligeable.

Mais plutôt que de procéder ainsi, on peut simplement faire la division de X2+1 par X+1 et on trouvera le même résultat sans changement de variable.

Remarquons que dans un développement à l’infini, on range les termes par puissances décroissantes de x , le « polynôme » se comportant comme ses termes de plus haut degré.