Une base pour la fac

 

 Arithmétique

Le cours LM220 de A. Kraus Université Paris VI

Résumé

Arithmétique sur Z

La notion de groupe

Anneaux et corps

Arithmétique sur Z/nZ

Arithmétique sur K[X] et ses quotients

Corps finis (construction)

Codes correcteurs d'erreurs

 

 Algèbre

 

Applications

            Relations, applications, propriétés d’une application

Opérations et ensembles

            Lois de composition internes et externes (propriétés)

            Structures de groupes, anneaux et corps.

 Les espaces vectoriels

            Définitions, propriétés, bases, coordonnées, changements de bases.

Les applications linéaires

            Définitions, propriétés, Image, noyau, invariants, matrice associée

Les matrices

            Opérations, propriétés, ensembles de matrices, matrices carrées

Les déterminants

            Calculs, propriétés

Polynômes et fraction rationnelles

          Polynômes , espace vectoriel / divisibilité, anneau, division euclidienne, division selon les puissances croissantes

            Fractions, décomposition en éléments simples 

Analyse

 

Généralités sur les fonctions

            Graphes, symétries, changements de repères et de variables

Lignes trigonométriques et hyperboliques

            Formulaire

Limites et continuité

            Quelques notions de topologie, limites finies et infinies, règles de calcul, fonctions continues

Dérivation

            Définitions, règles de calcul, tableau des dérivées, lemme de Rolle, Accroissements finis, applications

Approximations

            Fonctions négligeables et équivalentes, Développements limités, Formules de Taylor et de Mac Laurin.

Suites numériques

            Suites à formulation explicites, suites récurrentes et itérations

Séries

            Définitions, critères de convergence, comparaison

Intégration

            Tableau des primitives, Etude pratique des procédés d’intégration

Equations différentielles

           Equations différentielles du 1er et du second ordre, procédés de résolution

Quelques formules utiles

           Fonction Gamma d’Euler, lien avec la factorielle, sommes de gauss, formule de Stirling

            Intégrale de Gauss, Identité d’Euler.

 

Probabilités et statistiques

 

  Statistique collecte, présentation et étude des données

     Vocabulaire, tableaux graphiques,

      Séries simples moyenne, écart absolu moyen,  variance, écart type, position médiane, mode

       Séries doubles, covariance, coefficient de corrélation, approximations, méthode des moindres carrés

 

Probabilités dénombrements

      Ordre ou désordre,  Cardinal d’un ensemble produit, Permutations, Arrangements, Combinaisons.

      Binôme de Newton, Triangle de Pascal.

 

Probabilités : calculs

       L’Axiomatique (Kolmogorov).

        Probabilités totales, Probabilités conditionnelles, Probabilité des causes (Bayes)

 

Probabilités :  Variables aléatoires et principales lois

         variables aléatoires, densité,  fonction de répartition, espérance mathématique, variance, écart type, moments

         Lois : Binomiale, Hypergéométrique, Poisson, Normale, du Khi 2 de Pearson, de Student

 

Probabilités :  à l’interface des statistiques , les grands nombres

         Inégalité de Bienaymé – Tchebichev . Convergences en probabilité, en moyenne quadratique, en loi.

         Loi faible des grands nombres , loi de la limite centrale, Approximation d’une loi binomiale par une loi normale.

 

  Statistiques : ajustement d’une série à une loi de probabilités

      ajustements à une loi binomiale, à une loi de poisson, à une loi normale.

       Test du khi-2 . Droite de Henri .

Statistiques:  Echantillonnage, estimation et décision

    Généralités, méthodes , distribution d’échantillonnage (moyenne / proportion).

     Estimateurs. Estimation (moyenne, proportion, écart type).

     Comparaison d’une moyenne ou d’une proportion à une norme. Comparaison de 2 échantillons.

     Comparaison de 2 distributions (test du c2 – « Khi – 2 »)