La notion de fonction y = f (x)

 

Dans une repère cartésien, tout point du plan a des coordonnées (X , Y) qui permettent de le situer.

Quand X et Y sont quelconques, qu’il n’y a aucune relation entre les 2 coordonnées, les ensembles de points sont disséminés au hasard dans le plan. Ils ne forment aucun dessin particulier.

 

 

 

 

 

 

 


Mais s’il y a une relation mathématique entre X et Y,  les points (X , Y) forment en général un dessin ordonné, une figure géométrique, en général une courbe ou une droite, que nous  apprendrons à reconnaître en fonction de relation liant X et Y .

 

 

 

 

 

 

 

 


Cette relation entre X et Y nous l’exprimerons sous la forme Y = une expression en X .

Ce que nous écrirons Y = f (X) et que nous lirons Y est une fonction f de X .

 

Par exemple quand je dis 2Y – 4X = 0 je définis une relation entre X et Y .

Mais cette relation est équivalente à 2Y = 4X et finalement à  Y = 2x.

Ce qui définit Y en fonction de X . Je peux dire que Y = f (X) avec f (X) = 2X .

OU, ce qui revient au même                 f : X è f (X) = 2X

Qui se lit « soit f la fonction qui à X fait correspondre f(X) = 2X »  étant entendu que f(X) = Y.

Si je définis une nouvelle fonction je l’appellerai par exemple g.       g : X è g(X) = X2 + 2X + 1

 

L’intérêt d’écrire Y = 2X plutôt que 2Y – 4X =0 tient essentiellement à 3 raisons

 

˜ La forme y = f(x) est particulièrement propice aux études mathématiques qui l’utilisent à tout bout de champ donc nous nous conformerons à cette convention.

 

˜ Si je veux chercher et tracer les points dont les coordonnées (X, Y) vérifient Y= f(X) , il suffit que je donne une valeur à X et j’aurais immédiatement la valeur correspondante pour Y .

Par exemple, si Y = 2X Il nous est facile de compléter le tableau suivant :

X

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

Y = 2X

–6

 

 

0

 

+4

 

Une fois le tableau terminé nous aurons 7 points (X, Y)  que nous pourrons tracer dans un repère et qui ébaucheront le dessin, la figure,  qui se cache derrière la fonction f (X)  = 2X.  

On appelle cette figure le Graphe de la fonction.

 

 

 

 

 


                                              O

 

 

 

Le graphe de la fonction f ( X) = 2X  est une droite qui contient les 7 points du tableau et notamment le (0 , 0 ). C’est donc une droite qui passe par l’origine O du repère.

En fait une fois que l’on sait que c’est une droite, 2 points suffisent à la définir et à la tracer. 

 

˜ Toutes les relations entre X et Y ne sont pas des fonctions.

On ne peut parler de fonction que si la relation entre Y et X est telle que toute valeur de X est en relation avec au plus une valeur de Y.

Ce qui n’est pas le cas, par exemple,  pour la relation 

Y2 = X puisque X = 9 est en relation avec 

Y = 3 et Y = – 3.  En effet, on a à la fois

(–3)2 = 9 et (3)2 = 9.

 

Mettre la relation sous la forme Y = f(X) nous dispense de cet inconvénient dans la mesure où, pour chaque valeur que l’on donnera à X , on trouvera forcément une valeur unique pour Y.

 

Par exemple, si l’on écrit Y =  cela ressemble beaucoup à la relation précédente mais en fait, il n’y a plus de problème :  pour X = 9 , la valeur donnée à Y est unique : c’est Y = + 3.

Il est donc interdit qu’une valeur de X soit en relation avec plusieurs valeurs de Y mais par contre, il n’est pas interdit qu’on puisse trouver la même valeur de Y pour deux valeurs différentes de X.

Par exemple pour la fonction Y = X2. Je vais trouver la même valeur de Y pour X = 3 et pour X = –3.

Cette valeur est Y = 9 .  Cela ne pose aucun problème.

 

 

 

Voir la fonction comme une machine

 

Soit la fonction

f : X è 2X + 3

Imaginons que notre but soit de tracer un maximum de points (X,Y) vérifiant la relation :

Y = 2X + 3 .

de façon a dessiner le graphe de f .

Il suffit de donner n’importe quelle valeur à X dans l’expression Y = 2X +3 et pour chaque valeur donnée à X j’obtiens une valeur différente de Y donc, un nouveau  point (X,Y) appartenant au graphe.

 

 

En fait, je vais faire un travail répétitif, choisir une valeur pour X , la multiplier par 2 et ajouter 3.

Le résultat sera égal à Y. Puis je recommencerai avec une nouvelle valeur pour X et j’obtiendrai une nouvelle valeur pour Y .

On peut effectivement imaginer toute fonction comme une machine qui fait le travail répétitif qui figure dans sa définition : :  X è 2X+3    ou  f  qui multiplie X par 2 et ajoute 3 .

Si l’on met X = 0 dans la machine on obtiendra Y = 3 en sortie, si l’on met X = 1 dans la machine on obtiendra Y = 5 en sortie, si l’on met 2 on obtiendra 7, si l’on met 3 on obtiendra 9 et ainsi de suite.

La machine acceptera t – elle tous les nombres en entrée ? Oui elle acceptera les nombres positifs, nuls, négatifs, les fractions, les racines, les nombres à virgule. Bref elle ne rejettera aucun nombre réel, aucun nombre de R.

On dit que « la fonction f est définie sur R » ou « que le domaine de définition de f noté Df est R » .

 

Par contre, si la machine était par exemple g : x è  (la machine qui divise 1 par X) elle rejetterait le 0 parce qu’ on ne sait pas diviser par 0 .  n’a aucune signification connue et on dirait que le domaine de définition de g est : Dg = R – { 0 } qu’on lit R privé du zéro que l’on note parfois R*.

On pourrait alimenter la machine g par tous les nombres sauf le 0.

De même, si la machine était par exemple h : x è h(x) =  elle rejetterait tous les X négatifs.

Dh = [0, + ¥ ) =  R+   (ensembles des nombres réels positifs y compris le zéro)

 

 

Et petit à petit, en reportant dans un repère  les points (X, Y) , formés à partir du X qui a alimenté la machine et du Y qu’elle nous a calculé, on va obtenir la figure que l’on voit à droite de l’illustration ci dessus : une droite oblique passant par les points (0,3) , (1,5) , (2,7) , (3,9) etc

Cette fois la droite ne passe pas par l’origine (0,0) puisque la relation Y = 2X + 3 est fausse quand on remplace X par 0 et Y par 0 .  En effet  0 = 2.(0) + 3  donne 0 = 3 ce qui est faux.

 

L’antécédent est ce qui entre dans la machine (X) et l’image ce qui en sort (Y).

En remplaçant X et Y par leur valeur dans f (X) = Y On peut écrire, par exemple :  

Point (1, 5)           f (1) = 5     l’image de 1 par f est 5  ou L’antécédent de 5 par f est 1 .

Point (0 , 3 )         f (0) = 3         l’image de 0 par f est 3 ou  L’antécédent de 3 par f est 0 .

Point (– 1, +1)    f (–1) = 1    l’image de –1 par f est +1 ou  L’antécédent de +1 par f est –1 .                 

 

f (1) = 5 par exemple est un élégant raccourci de la phrase « si je met 1 dans la machine j’obtiens 5 en sortie » ou de « l’image de 1 par f est 5 »  ou de « l’antécédent de 5 par f est 1 ». ou de « le point (1,5) appartient au graphe de f » 

Souvenons nous de cette écriture simplifiée qui met en relation les 2 coordonnées X et Y de l’un des points du graphe et qui provient de  f( X ) =Y  .

 

Localiser les points d’une fonction

 

˜ connaissant X, trouver Y tel que (X,Y) appartienne au graphe de f  

 C’est l’exercice le plus facile.

Si X = k alors Y = f(k) .

Nous avons vu qu’il suffit de remplacer X par sa valeur dans l’expression qui définit f .

Par exemple si f est définie par                  f : X è f(X) = X2 + 2X + 7

À X = k correspond Y = f(k) = (k)2 + 2(k) + 7

À X = 3 correspond Y = f(3) = (3)2 + 2(3) + 7 = 9+6+7 = 22

À X = 0 correspond Y = f(0) = (0)2 + 2(0) + 7 = 0+0+7 = 7

À X = – 1 correspond Y = f(–1) = (–1)2 + 2(–1) + 7 = 1–2+7 =  6 

Le mieux est de remplacer X par des parenthèses dans l’expression de f(X) :

f (  ) = (  )2 + 2 (  ) + 7

Puis on peut glisser n’importe quel nombre dans les parenthèses. Par exemple  – 3

f (–3 ) = (–3 )2 + 2 (–3 ) + 7           =        9 – 6 + 7         = 10         è      f (–3) = 10

Le point (–3, 10) appartient donc au graphe de f .

 

˜ connaissant Y,  trouver X tel que (X,Y) appartienne au graphe de f 

Le problème est un peu plus compliqué si on nous demande de calculer l’antécédent connaissant l’image ce qui revient à faire marcher la machine à l’envers. 

Supposons que f soit définie par f : X è 2X

La question est : « sachant que f (X) = 8 , quelle est la valeur de x ? »

Problème que l’on peut aussi résumer par « Quel est l’antécédent de 8 par f ? »

Mais en fait f (X) = 8 s’écrit 2X = 8 et qu’est ce que 2X = 8 (et plus généralement f(X) = une valeur numérique) ? C’est une équation à une seule inconnue X qu’il suffit de résoudre ce que nous savons généralement faire.

Par exemple 2X = 8 donne X =  = 4 .         L’antécédent de 8 est 4.

Il n’est pas interdit de dire que si Y = 2X  alors X =  ce qui revient à considérer que X est une fonction de Y . On dit que la fonction ainsi définie est la fonction réciproque de f .  On la note f–1.

 

Il est possible que l’équation à résoudre soit du type 9 = X2 et dans ce cas, on peut trouver plusieurs solutions, donc plusieurs antécédents à 9 (ici +3 et – 3) .

La fonction f prend la valeur 9 à 2 reprises : pour X = 3 et X = –3.

 

˜ Tel point (X, Y) appartient – il au graphe de la fonction ?

 

On connaît la relation entre Y et X qui définit f , par exemple

f : X è f(X) = – X + 7  donne la relation :   Y = – X + 7

Quand on nous donne un point (X , Y) il suffit de remplacer Y et X par leur valeur dans la relation.

˜ Si la relation est vérifiée c’est que le point appartient au graphe.

˜ Si la relation n’est pas vérifiée, c’est que le point n’appartient pas au graphe.

Par exemple

Point P (2 , 5)  è la relation devient  (5) = –( 2) + 7 è   5 = 5 vrai    è P appartient au graphe

Point Q (–3, 6) è la relation devient (6) = (–3)+7 è 6 = 10 faux èQ n’appartient pas au graphe

 

Il y a équivalence entre

˜ Un point appartient au graphe de f

et

˜ ses coordonnées (X,Y) vérifient la relation entre Y et X associée à la fonction f

 

Quelles sont les coordonnées des points d’intersection du graphe de f(X) avec les axes ?

 

˜ Sur l’axe des Y on a X = 0 .

Donc le point unique d’intersection du graphe avec l’axe des Y est  ( 0 ,  f (0))

f(0) est l’ordonnée à l’origine de la fonction .

˜ Sur l’axe des X on a f(X) = 0  donc Y = 0

Si l’équation  f(X) = 0 a des solutions  par exemple X1 et X2 , alors les points d’intersection du graphe avec l’axe des X sont (X1 , 0) et (X2, 0)

X1 et X2 sont les zéros de la fonction

 

 

Prenons par exemple f(X ) = (X–1) (X+3)

 

˜ f ( 0) = – 3  donc f(X) coupe l’axe des Y en  (0 , –3)

L’ordonnée de f à l’origine est –3

 

˜ f (X) = 0 équivaut à (X –1 ) (X + 3)  =0 dont les solutions sont X1 = 1 et X2 = –3

Donc le graphe de f coupe l’axe des X en (– 3 , 0) et (1 , 0)

 

 

 

Les droites d’équation X = K  ou  Y = K

 

K est un nombre quelconque.  Par exemple X = 5  et Y  = 3

Ces équations ne définissent pas à proprement parler des fonctions (pas de véritable relation entre X et Y) mais comme dans le cas des fonctions il existe

˜ un ensemble de points (X,Y) pour lesquels X = 5 ( X est constant et égal à 5)

˜ un ensemble de points (X,Y) pour lesquels Y = 3 ( Y est constant et égal à 3)

Essayons d’imaginer ces ensembles

 

 

˜ La droite bleue, parallèle à l’axe des Y, est l’ensemble des points ayant une abscisse X = 5.

Si je change la valeur de X par exemple X =–7, j’obtiendrai une autre droite parallèle à l’axe des Y.

L’axe des Y est la droite d’équation X = 0 .

 

˜ La droite rouge, parallèle à l’axe des X, est l’ensemble des points ayant une ordonnée Y = 3.

Si je change la valeur de Y par exemple Y =2, j’obtiendrai une autre droite parallèle à l’axe des X.

L’axe des X est la droite d’équation Y = 0 .

 

˜ Prenons la bonne habitude, lorsque nous traçons un graphe dans le plan rapporté à un repère de lui adjoindre une étiquette avec son équation qui est comme son nom.

Ici nous avons attribué une étiquette X = 5 à la droite bleue et une étiquette Y = 3 à la droite rouge.

 

COMPARAISONS

 

Comparaison d’une fonction et d’un nombre

 

On peut nous demander pour quelles valeurs de X la fonction f(X) est plus grande qu’un nombre b.

Pour cela, il suffit de résoudre l’inéquation f(X) > b .

Par exemple si on nous demande

pour quelles valeurs de X la fonction f(X) = 2X est plus grand que 6 ?  

on va résoudre l’inéquation 2X > 6 et trouver X > 3 . 

Inférence négative :  pour X ≤ 3  f(X) est inférieur ou égal à 6.

 

Etude du signe

 

Le problème  appelé étude du signe de f(X) nous oblige à comparer f(X) et le nombre 0 .

Il s’agit de trouver les valeurs de X pour lesquelles f (X ) > 0  (f(X) positif) étant entendu que pour les autres valeurs de X on doit avoir f(X) ≤ 0 c'est-à-dire f(X) négatif ou nul .

Il suffit donc de résoudre l’inéquation f (X ) > 0 ce qui rattache le second type de problème au premier.

Par exemple si f(X) = 2x – 4 on va dire f(X) est positif si 2X – 4 > 0 ou 2X > 4 ou X > 2 .

Donc f(X) sera nul pour X = 2 et négatif pour X < 2 .

 

Comparaison de deux fonctions entre elles

 

Soient deux fonctions f(x) et g(x) définies pour les mêmes valeurs de X .

Pour quelles valeurs de X a – t – on f(x) = g(x)   et      f(x) > g(x)

˜ f(X) = g(X) est une équation en X il suffit de la résoudre pour avoir les valeurs de X pour lesquelles les deux fonctions sont égales.

˜ f(X) >g(X) est une inéquation en X il suffit de la résoudre pour avoir les valeurs de X pour lesquelles f(X) > g(X).

 

Par exemple si f(X) = 2X + 4    et      g(X) = 4X

 

f(X) = g(X)     devient      2X + 4 = 4X      soit       –2X = – 4      soit     X =  2.

On a f (2) = 8   et g(2) = 8  soit f(2) = g(2) donc les deux fonctions sont bien égales pour X = 2.

Leurs graphes se croisent au point ayant pour coordonnées (2 , 8) .

Dans le cas de graphes  courbes, il pourrait y avoir plusieurs points d’égalité. Ici il n’y en a qu’un.

 

f(X) > g(X) devient  2X + 4 > 4X  soit – 2X > –4 soit X <  2

Prenons X < 2 par exemple X = 0 et on a f(0) = 4 et g(0) = 0 . On a bien f plus grande que g .

Prenons X > 2 par exemple X = 3 et on a f(3) = 10 et g(3) = 12 .  Cette fois f est plus petite que g.

Quand f > g le graphe de f est au dessus de celui de g. Si f < g c’est le contraire.

 

Graphiquement :

 

Problème de type f(X) > b

 

On trace le graphe de la fonction f(x) et la droite y = b.  Les parties du graphe de f (X)  et plus généralement tous les points (X, Y) du plan,  qui sont au dessus de la droite ont une ordonnée Y plus grande que  b .

Donc comme Y = f(X)

˜ la partie du graphe qui est au dessus de la droite vérifie f(X) > b

˜ la partie du graphe qui est sur la droite vérifie f(X) =  b

˜ la partie du graphe qui est au dessous de la droite vérifie f(X) <  b

 

˜ Les parties du graphe qui sont au dessus de la droite y = 4 (zone blanche) correspondent à f(X) > 4.

˜ Les parties du graphe qui sont au dessous de la droite y = 4 (zone grise) correspondent à f(X) < 4.

˜ Sur la droite rouge on a  f(X) = 4 pour 2 valeurs X= –5 et X=+2.

˜ À quelles valeurs de X correspondent les différentes zones ?

Zone blanche pour X Î ] –5 ;  +2 [ 

Donc f(X) > 4 pour X Î ] –5 ;  +2 [  

Zone grise pour X Î (– ¥ ; – 5 [ U ] +2 ; + ¥ )

Donc f(x) < 4  pour X Î (– ¥ ; – 5 [   U    ] +2 ; + ¥ )

 

 

Cas particulier de l’étude du signe de f(X)

 

Etudier le signe de f(X) c’est comparer f(X) à 0 .

Donc, ici la droite Y = 4 est remplacée par la droite Y = 0 qui est en fait l’axe des X .

˜ Les parties du graphe qui sont sous l’axe des X (zone blanche) correspondent à Y négatif et donc à  f(X) < 0 .

˜ Les parties du graphe qui sont au dessus de l’axe des X (zone grise) correspondent à Y positif et donc à  f(X) >  0 .

˜ Sur l’axe des X on a Y = f(X) = 0 pour 2 valeurs X= –1 et X=+5.

˜ À quelles valeurs de X correspondent les différentes zones ?

Zone blanche pour X Î ] –1 ;  +5 [ 

Donc f(X) < 0 pour X Î ] –1 ;  +5 [  

Zone grise pour X Î (– ¥ ; – 1 [ U ] +5 ; + ¥ )

Donc f(x) > 0 pour X Î (– ¥ ; – 1 [   U    ] +5 ; + ¥ )

 

 

Problèmes de type f(X) > g(X)

 

La question est

« En vous appuyant sur une étude graphique dites nous pour quelles valeurs de X on a  f(X) > g(X) »

f(X) est plus grand que g(X) quand son graphe est au dessus de celui de g(X) .

En blanc les zones où f(X) est plus grand que g(X) .

En gris les zones où f(X) est plus petit que g(X) .

Les zones blanches correspondent au domaine pour lequel 

X  Π ] –5 ; +1[    U     ]+5 ; + ¥ )

Don on peut dire que

f(X) > g(X) pour X  Î  ] –5 ; +1[    U     ]+5 ; + ¥ )

f(X) = g(X) pour X = – 5 , X = +1 et X = +5 

On pourrait trouver l’ordonnée Y des points d’égalité en remplaçant X par sa valeur (–5, +1 , +5) , soit dans f(X) , soit dans g(X) .

 

 

 

Sens de variation d’une fonction

 

L’intérêt du graphe est qu’il nous donne une image très pratique du comportement de l’expression numérique que nous appelons fonction, lorsque X varie.

 

Lorsque X augmente, 3 cas sont possibles

˜ f(X) augmente aussi è on dit que la fonction est croissante

˜ f(X) diminue è on dit que la fonction est décroissante

˜ f(X) garde la même valeur numérique è  on dit que la fonction est constante

 

Lorsque localement f(X) est décroissante puis croissante, elle passe par un minimum relatif.

 

Lorsque localement f(X) est croissante puis décroissante, elle passe par un maximum relatif.

 

Le minimum ou maximum est atteint pour une valeur de X et il lui correspond une valeur de Y :

Ymin ou Ymax.

Nous dirons que ce minimum (maximum) est absolu, si nulle part f ne prend une valeur plus petite (plus grande) que  Ymin  (Ymax).

 

Nous suivons le comportement de f(X) lorsque X croît, ce qui signifie que nous parcourons le graphique de gauche à droite.

Dans la zone grise de gauche, f(X) diminue.

Si cette zone grise correspond à l’intervalle (–¥ ; – 3] sur l’axe des X on dit que

f (X) est décroissante sur (–¥ ; – 3].

f atteint un minimum relatif pour X = – 3 .

À cet endroit la valeur de f est Ymin =  f (– 3) = – 0,6.

Dans la zone blanche, f est croissante.

f (X) est croissante sur  [ –3 , +2 ]

f (X) atteint un maximum relatif pour X = + 2

À cet endroit la valeur de f est Ymax = f (+2) = +1,5

Ensuite dans la zone grise de droite f décroît de nouveau

f (X) est décroissante sur (+2 ; + ¥ ].

 

On peut schématiser ce comportement dans le tableau suivant qu’on appelle :

Tableau de variation de f

 

X

¥                      – 3                             +2                     + ¥ 

 

f(X)

 

 

                      -0,6

                      +1,5

 

 

 

Reprenons la définition de la fonction croissante :

Lorsque X augmente (ce que nous pouvons écrire « si X2 > X»  f(X) augmente (ce que nous pouvons écrire « f(X2) > f(X1» )

 

Soit un intervalle [ a ; b] et deux points quelconques X2 , X1 appartenant à cet intervalle

˜ f est croissante sur [ a ; b]  si pour tout  X2 > X1 on a  f(X2) ≥  f(X1)

˜ f est décroissante sur [ a ; b]  si pour tout  X2 > X1 on a  f(X2) ≤  f(X1)

 

or nous remarquons que

X2 > X1 peut aussi s’écrire        X2 – X1 > 0       ou         X2 – X1 positif

f(X2) ≥  f(X1)  peut aussi s’écrire                                         f (X2) –  f (X1) positif

f(X2) ≤  f(X1)  peut aussi s’écrire                                         f (X2) –  f (X1) négatif

 

Donc que peut – on dire du signe du quotient  ?

 

Si f est croissante sur l’intervalle [ a ; b]  alors  est positif sur cet intervalle

 

 Si f est décroissante sur l’intervalle [ a ; b]  alors est négatif sur cet intervalle

La réciproque est vraie.

 

Donc le quotient T =   nous indique :

 

1) selon son signe si la fonction est croissante ou décroissante

2) selon sa valeur si f augmente ou diminue de beaucoup ou de peu

 

Localement (sur un tout petit intervalle) selon la valeur de T on peut dire que

T = +5 veut dire que si X augmentait de 1, Y augmenterait de 5 .

T = +0,3 veut dire que si X augmentait de 1, Y augmenterait de 0,3

T = – 2  veut dire que si X augmentait de 1, Y diminuerait de 2

Cela donne une idée de la variation locale de f .

 

T ne change pas si l’on inverse X2 et X1 :   =

 

T est appelé taux de variation de f entre X1 et X2