RACINE CARREE

 

 

 

Définition : La racine carrée d’un nombre (X)  est le nombre positif ou nul qui élevé au carré donne X. Noté.

Par exemple = 3 (racine de 9 = 3) puisque 3 fois 3 = 9   ou  32 = 9

Par exemple = 5 (racine de 25 = 5) puisque 5 fois 5 = 25  ou 52 = 25

˜ si X est négatif n’existe pas.

Par exemple n’existe pas car il n’existe pas de nombre qui élevé au carré donne un nombre négatif.

˜ Si X est positif ()2 = X.  

()2 = 9            

è Quand on prend la racine d’un nombre positif et qu’on élève le résultat au carré, on retombe sur le nombre initial

è De même, on verra que si on élève un nombre positif au carré puis qu’on en prend la racine, on retombe sur le nombre initial

(voir plus bas la loi du carré parfait : avec a positif on peut écrire que  )

è Prendre la racine et élever au carré sont donc des opérations qui se neutralisent.

˜ L’expression située sous le signe doit être positive.

Par exemple  n’existe que si X+1 est positif  (ce que l’on écrit X + 1 > 0 ou X > –1)  

˜ Si X est positif, il y a 2 nombres opposés qui élevés au carré donnent X. Le positif est , l’autre est –.

On a +5 fois +5 = 25 mais aussi – 5 fois – 5 = 25 mais il n’existe qu’une seule  c’est + 5

On peut écrire :       = – 5

 

Quelques exemples de calcul des racines             

Quand x est un carré parfait (comme 1 ; 4 ; 25 ; 64 ; …) il est facile de trouver  :

 = 0

= 1

= 2

= 3

=4

 =5

= 6

= 7

 = 8

 = 9

 =10

 

 

 

 

 

 

 

 

                       entre et                                                                                  entre et

                        donc entre 1 et 2                                                                                        donc entre 8 et 9

 

 

 

 

Propriétés des racines Dans ce qui suit a, b sont des nombres positifs, x peut être négatif ou positif

Loi 1   (définition)

 

 

Loi 2   (carré parfait)

 

 

 

Loi 3  (produit)

 

 

Loi 4  (quotient)

 
 

 

 

 

 

 


Loi 5 : Si A =B (égalité quelconque) pourvu que A (ou B) soit positif, on peut écrire

 

 

 

Loi 1 :       . On ne peut écrire = x+1 que si x+1 est positif c'est-à-dire si x > – 1

Loi 2 :  .  pour toutes les valeurs de x, même celles qui rendent (x+1) négatif

 

Loi 3 :    . Si a est positif,    

Loi 4 :  .       quelle que soit la valeur de x

 

Loi 5 : si A2 = 8 et A 0, alors  donc A =  (on a fait disparaître le carré qui nous gêne pour trouver A).

                                                        Mais attention : si A peut être négatif, alors il existe une autre solution A = –

 

Conventions d’écriture

 

 

 

règle 1 : Si le nombre qui est sous la racine est un carré parfait, on l’extrait de la racine.

 

 

On n’écrit pas , mais  5. On n’écrit pas mais |x+1|

règle 2 : Si on trouve un carré parfait en facteur sous la racine, on l’extrait de la racine .

 

 

Plutôt que , on préfère écrire (loi 3)

Cela permet quelquefois de simplifier l’écriture des sommes de racines. Par exemple :

 +                (mise en facteur de )

Il est donc systématiquement intéressant de rechercher les carrés en facteurs sous les racines.

 

 

règle 3 : On n’aime pas avoir une racine au dénominateur d’une fraction

 

Pour le supprimer :

Soit .  Le dénominateur est . En le multipliant par lui même, je vais obtenir 2 et faire disparaître le symbole .

 

Je vais donc Multiplier la fraction par  ce qui revient à la multiplier par 1 .

Attention de ne pas écrire

 

ou

 

ces relations sont fausses

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


            PUISSANCES     
             

 

Définition :  a puissance n (a exposant n) est égal au produit de a par lui même n fois. an = a.a.a…..a (n fois).

Pour l’instant, l’exposant n est un entier naturel, mais on verra plus tard qu’on peut aussi définir des exposants négatifs, fractionnaires ou mêmes quelconques en adoptant une autre définition de la puissance.

a est un nombre quelconque .

 

 

Portée de l’exposant

On appelle portée de l’exposant n, le terme (ou l’expression) qu’il faut multiplier par lui même (ou elle même)  n fois.

 

La règle est la suivante :

 

Si l’exposant suit une parenthèse fermée, il porte sur toute la parenthèse.

Sinon, il porte sur le seul nombre ou caractère qui le précède.

 

l (–a)2 est différent de a2 . Dans la 1ere écriture, l’exposant porte sur –a alors que dans la 2e il ne porte que sur a. 

          –a2 pourrait s’écrire –(a2), ce qui est différent de (–a)2 .

l De même, dans (x+y)2 , l’exposant porte sur (x+y) alors que dans x+y2 , l’exposant ne porte que sur y .

l De même, dans –xy2, l’exposant ne porte que sur le y alors que dans –(xy)2, l’exposant porte sur xy et dans (–xy)2 ,

    il porte sur (–xy) .

lDe même, dans   l’exposant porte sur  alors que dans  , l’exposant ne porte que sur x.

 

 

Quelques exemples de calcul des puissances

˜ 32 = 3.3 = 9         

˜           (–3)2 = (–3).(–3)2 = +9           l’exposant porte sur le –3

˜          –32 = –(3.3)= –9                      l’exposant porte sur le 3 pas sur le

˜          33 = 3.3.3 = 27   

˜          (–3)3=(–3)(–3)(–3)= –27         l’exposant porte sur –3

˜          (4.5)3=(4.5)(4.5)(4.5)=20.20.20=8000       l’exposant porte sur le produit 4.5 = 20

˜          4.53=4.(5.5.5) =4.125 = 500                       l’exposant ne porte que sur le 5

˜   (4+5)3 = (4+5)(4+5)(4+5) = 9.9.9 =729        l’exposant porte sur 4+5 = 9

˜         4+53 4 + 5.5.5 = 4 + 125 = 129                 l’exposant ne porte que sur le 5  

˜         (–1,5)3=(–1,5)(–1,5)(–1,5)= –3,375                l’exposant porte sur – 1,5

˜                                                            l’exposant porte sur

˜                                                              l’exposant ne porte que sur le 2

 

˜  (x+y)2 =(x+y)(x+y)=x2+2xy+y2                            l’exposant porte sur la somme x + y

˜  x+y2 = x+(y2)                                                    l’exposant ne porte que sur y

 

Si X est positif è    xn   est toujours positif              32 = + 9        33 = + 27       34 = + 81

si X est négatif è    xn  est négatif si n est impair,   (–3)1 = – 3    (–3)3 = – 27        (–3)5 = –1368

                        è    xn  est positif si n est pair          (–3)2 = + 9      (–3)4 = + 81          (–3)6 = + 729

 

 

Propriétés des puissances

 

Loi 1

x1 = x

(définition)

 

Loi 2

x0 = 1

(convention)

 

Loi 3

(x.y)n = xn.yn

 

Loi 4

 

Loi 5

xn.xp = xn+p

 

Loi 6

(xn)p = xnp

 
 

 

 

 

 


Loi 5 : xn . xp= (xxx….x) (xxx…x)                             Loi 6 (xn)p =(xxx…x)(xxx…x)…….(xxx…x)

 


                               n fois x       p fois x                                                         n  fois x

                                                                                                                                         p   fois n fois x

              En tout, on trouve x  n+p fois  [ xn+p ]                                    En tout on trouve x   n.p fois [ xn.p ]

 

l Utilisation Loi 5 : (x2 + 2)(x3 + 5) = x2.x3 + 5x2 + 2x3 + 10 = x5 + 5x2 + 2x3 + 10

 

l Utilisation Loi 6 : sachant que (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 développer (x5 + y2)3 .

Dans la formule, on fait a = x5 et b = y2 :

(x5 + y2)3 = (x5)3 + 3(x5)2.y2 + 3x5.(y2)2 + (y2)3 = x15 + 3x10.y2 + 3x5.y4 + y6

 

Extension de la notion de puissance

On a  avec x=x1 et 1=x0 . 

Posons et cherchons a tel que x1.xa = x0 ce qui équivaut à

 

La loi 5 donne x1.xa =x1+a =  x0 . En égalant les exposants, on trouve 1+a = 0 soit a = –1.

 

Donc .

 

 

Loi 7

 
 


A partir de =1  on trouverait

 

 

 

 

Cette loi est compatible avec toutes les autres .

 

 

 

 

Loi 8

 
En particulier

 

 

 

 

 

Par exemple :

 

 

Autre extension possible : si x>0 :      

 

Donc